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二次函数中的定值问题思路探索

发布日期:2020-06-28 02:51 浏览次数:

随着抛物线上某动点的运动,由它带动的一些量中,有变量自然也有常量,其中的常量,就是经常被考查的定值。寻找变化中的不变量,这原本也是初中函数运用的一个重点内容,通常解法思路是将所要探索的量用字母表示出来,然后寻找等量关系,在恒等变换中消掉多余字母,最终只剩下常数。当然这是思维定势,并不代表所有定值类问题都能由此突破,但作为尝试是可以的,即使失败,从中汲取教训,为下一次成功打下基础。

经过(1,0)和(2,3)两点的抛物线y=ax+c交x轴于A、B两点,P是抛物线上一动点,平行于x轴的直线l经过点(0,-2).

(2)如图1,y轴上有点C(0,-3/4),连接PC,设点P到直线l的距离为d,PC=t,某同学在探究d-t的值的过程中,思考:当P是抛物线的顶点时,计算d-t的值为___________;当P不是抛物线的顶点时,猜想d-t是一个定值,请你直接写出这个定值,并证明;

(3)如图2,点P在第二象限,分别连接PA、PB,并延长交直线l于M、N两点,若M、N两点的横坐标分别为m,n,试证明mn也是一个常数.

(1)常规二次函数题的“启手式”,作为基本功,一定要迅速解决问题,将两个点坐标代入解析式中,求出参数a和c,结果是y=x-1;

当点P不是顶点时,不妨设出它的坐标为(p,p-1),于是可以表示出d=t-1-(-2)=p+1,而PC可利用两点间距离公式求,推导如下:

(3)从图中我们可以发现,MN与x轴平行,本着有平行必有相似的原则,我们可以构造出不同的相似三角形,从而将点M和N的横坐标分别纳入比例式中,因此过点P作l的垂直,分别与x轴,直线l相交于点G、H,如下图:

我们利用两次相似,△PAG∽△PMH,△PBG∽△PNH,分别得到两组比例式,PG:PH=AG:HM,PG:PH=BG:NH,推导如下:

本题推导过程较多,对学生的代数恒等变换提出了一定要求,面对一堆参数和代数式,首先要敢于下手,其次目标要明确,不能如无头苍蝇一样乱碰,始终一根主线,即常规思路。

尤其是遇到根号下一堆代数式的情况,多半根号下的式子是可以化为完全平方的,探索时可大胆前进,而在遇到化简出来的结果“相似”时,注意它们之间的联系,不难求出最后的定值。

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